Question

请考生从以下三个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
（1）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，则m的取值范围为

（0，

1

3

）

．
（2）直线3x-4y-1=0被曲线

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ为参数）所截得的弦长为

2

3

．
（3）若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，则△ABC的面积为

2

．

Answer 1

分析：（1）由于|x-1|+|x-m|最小值为|m-1|，则由题意可得0＜2m≤|m-1|，解此绝对值不等式求出解集．
（2）把圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线3x-4y-1=0的距离为d，根据弦长为2

r2-d2

 求得结果．
（3）设内切圆半径为r，由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，可得r²+3r=2，再根据△ABC的面积为

1

2

×（1+r）（2+r），运算求得结果．

解答：解：（1）由于|x-1|+|x-m|表示数轴上的x对应点到1和m对应点的距离之和，其最小值为|m-1|，
若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集为∅，则有0＜2m≤|m-1|，
故有

m＞0 m-1＞2m 或m-1＜-2m

，解得 0＜m＜

1

3

，
故答案为 （0，

1

3

）．
（2）曲线

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ为参数）即 x²+（y-1）²=4，表示以C（0，1）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线3x-4y-1=0的距离为d=

|0-4-1|

5

=1，故弦长为2

r2-d2

=2

4-1

=2

3

，
故答案为 2

3

．
（3）由于直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，设内切圆半径为r，
则由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，∴r²+3r=2．
△ABC的面积为

1

2

×（1+r）（2+r）=

1

2

（r²+3r+2）=2，
故答案为 2．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，直线和圆相交的性质，圆的切线性质、圆的参数方程，以及三角形中的几何计算，属于中档题．