Question

已知抛物线方程y²=mx（m∈R，且m≠0）．
（Ⅰ）若抛物线焦点坐标为（1，0），求抛物线的方程；
（Ⅱ）若动圆M过A（2，0），且圆心M在该抛物线上运动，E、F是圆M和y轴的交点，当m满足什么条件时，|EF|是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用焦点坐标和抛物线系数间的关系即可求出抛物线的方程；
（Ⅱ）先把圆的方程用圆心坐标写出来，再让x=0求出关于，E、F的坐标和圆心坐标之间的关系式，把|EF|的长用圆心坐标和m表示出来．最后利用|EF|是定值求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意：

p

2

=1．（2分）
∴p=2∴所求方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）设动圆圆心为M（a，b），（其中a≥0），E、F的坐标分别为（0，y₁），（0，y₂）
因为圆M过（2，0），
故设圆的方程（x-a）²+（y-b）²=（a-2）²+b²（6分）
∵E、F是圆M和y轴的交点
∴令x=0得：y²-2by+4a-4=0（8分）
则y₁+y₂=2b，y₁•y₂=4a-4
|EF|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

4b2-16a+16

（10分）
又∵圆心M（a，b）在抛物线y²=mx上
∴b²=ma（11分）
∴|EF|=

4ma-16a+16

=

4a(m-4)+16

．（12分）
∴当m=4时，|EF|=4（定值）．（14分）

点评：一般在涉及到定值问题时，是让于变化量无关的项恒为0．比如本题是让m-4=0．