Question

平面图形ABB₂A₂C₃C如图4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取BC，B₁C₁的中点为点O，O₁，连接AO，OO₁，A₁O，A₁O₁，
∵AB=AC，∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC
∴AO⊥平面BB₁C₁C
同理A₁O₁⊥平面BB₁C₁C，∴AO∥A₁O₁，∴A、O、A₁、O₁共面
∵OO₁⊥BC，AO⊥BC，OO₁∩AO=O，∴BC⊥平面OO₁A₁A
∵AA₁?平面OO₁A₁A，∴AA₁⊥BC；
（Ⅱ）解：延长A₁O₁到D，使O₁D=OA，则∵O₁D∥OA，∴AD∥OO₁，AD=OO₁，
∵OO₁⊥BC，平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁C₁C，平面A₁B₁C₁∩平面BB₁C₁C=B₁C₁，
∴OO₁⊥面A₁B₁C₁，
∵AD∥OO₁，
∴AD⊥面A₁B₁C₁，
∵AD=BB₁=4，A₁D=A₁O₁+O₁D=2+1=3
∴AA₁==5；
（Ⅲ）解：∵AO⊥BC，A₁O⊥BC，∴∠AOA₁是二面角A-BC-A₁的平面角
在直角△OO₁A₁中，A₁O=
在直角△OAA₁中，cos∠AOA₁=-
∴二面角A-BC-A₁的余弦值为-．
分析：（Ⅰ）证明AA₁⊥BC，只需证明BC⊥平面OO₁A₁A，取BC，B₁C₁的中点为点O，O₁，连接AO，OO₁，A₁O，A₁O₁，即可证得；
（Ⅱ）延长A₁O₁到D，使O₁D=OA，则可得AD∥OO₁，AD=OO₁，可证OO₁⊥面A₁B₁C₁，从而AD⊥面A₁B₁C₁，即可求AA₁的长；
（Ⅲ）证明∠AOA₁是二面角A-BC-A₁的平面角，在直角△OAA₁中，利用余弦定理，可求二面角A-BC-A₁的余弦值．
点评：本题考查线线垂直，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．