Question

已知c＞0，设p：函数y=c^x在R上单调递减； Q：x+|x-2c|＞1不等式的解集为R．如果p和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围

(0，

1

2

]∪[1，+∞)

．

Answer 1

分析：函数y=c^x在R上单调递减，可结合指数函数的单调性推出c的范围，由不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，可得x+|x-2c|的最小值大于1，而P和Q有且仅有一个正确，分两种情况讨论，然后求出c的取值范围．

解答：解：∵函数y=c^x在R上单调递减
∴0＜c＜1
即P：0＜c＜1
∵x+|x-2c|＞1不等式的解集为R．∴函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
而x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

可知x+|x-2c|的最小值为2c，则根据题意可得，2c＞1
即Q：c＞

1

2

∵p和Q有且仅有一个正确
①若P正确，Q错误，则

0＜c＜1 0＜c≤ 1 2

，则0＜c≤

1

2

②若P错误，Q正确，则

c≥1 c＞ 1 2

，则c≥1
综上可得，0＜c≤

1

2

或c≥1
故答案为：（0，

1

2

]∪[1，+∞）

点评：本题考查绝对值不等式的解法及函数的恒成立问题的求解，要注意与函数最值的相互转化，指数函数单调性的应用，是中档题．