题目内容

有六个命题：
①如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）图象关于x=a对称；②如果函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图象关于x=0对称；③如果函数y=f（x）满足f（2a-x）=f（x），则y=f（x）的图象关于x=a对称；④函数y=f（x）与
f（2a-x）的图象关于x=a对称；⑤函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=a对称；⑥函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=0对称．则正确的命题是________（请将你认为正确的命题前的序号全部填入题后横线上，少填、填错均不得分）．

①③④⑥
分析：①如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）图象关于x=a对称，可由对称性验证；
②如果函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图象关于x=0对称，可由对称性验证；
③如果函数y=f（x）满足f（2a-x）=f（x），则y=f（x）的图象关于x=a对称，可以经过变换验证；
④函数y=f（x）与f（2a-x）的图象关于x=a对称可由图象的变换判断；
⑤函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=a对称，可由图象的变换判断；
⑥函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=0对称，可由图象的变换判断．
解答：①如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）图象关于x=a对称，由于f（a+x）=f（a-x），两式中的自变量到直线x=a的距离相等，函数值也相等，对轴对称的定义知y=f（x）图象关于x=a对称，此命题是正确命题；
②如果函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图象关于x=0对称，由①知，不正确；
③如果函数y=f（x）满足f（2a-x）=f（x），则y=f（x）的图象关于x=a对称，在①中令t=a+x，得x=t-a代入f（a+x）=f（a-x），可得f（2a-t）=f（t），即f（2a-x）=f（x），故命题正确；
④函数y=f（x）与f（2a-x）的图象关于x=a对称，由于y=f（x）与f（-x）的图象关于x=0对称，故y=f（x）与f（2a-x）的图象关于x=a对称，命题正确；
⑤函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=a对称，研究知两者的图象关于x=0对称，故命题不正确；
⑥函数y=f（a-x）与y=f（a+x）的图象关于x=0对称，由图象变换知，命题是正确的．
故答案为：①③④⑥
点评：本题考查函数的图象与图象变化，求解的关键是熟练掌握函数的图象的变换规则以及一些常见函数的对称性如y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）图象关于x=a对称，y=f（x）与f（-x）的图象关于x=0对称等．