Question

抛物线抛物线y²=4x上有两个定点A （1，2）B（4，-4），在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，P点的坐标为（　　）

A．（ 1 4 ，-1）

B．（0，0）

C．（1，-2）

D．( 1 4 ，1)

Answer 1

由A（1，2），B（4，-4）可得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

，
并且直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

，
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．
故选A．