题目内容

袋中有形状、质地都相同的黑球、白球和红球共10只，已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的概率为 $数学公式$ ，从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的概率为 $数学公式$ ．
求（1）从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球的概率；
（2）袋中白球的个数；
理（3）从袋中任意摸出三个球，记得到白球的个数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求其数学期望Eξ

解：（1）由题意可得：袋中的黑球有 $\text{[math]}$ ，所以其他球有6个，所以从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球的概率为 $\text{[math]}$ ；
（2）设袋中白球数为n．
设从中任摸2个球至少得到1个白球为事件A，任取两球无白球为事件 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得n=5，即袋中有5个白球；
（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ξ的数学期望 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求袋中的黑球的个数，从而得到其它求的个数，再利用对立事件求概率；
（2）根据从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\text{[math]}$ ，写出从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的对立事件的概率，列出关于白球个数的方程，解方程即可．
（3）从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．
点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力，考查对立事件的概率，考查古典概型问题，是一个综合题．