Question

如图，是函数y=(

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2

)x和y=3x²图象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）时，两函数值相等．
（1）给出如下两个命题：①当x＜x₁时，(

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2

)x＜3x2；②当x＞x₂时，(

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2

)x＜3x2，试判定命题①②的真假并说明理由；
（2）求证：x₂∈（0，1）．

Answer 1

（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，则x＜x₁，但是(

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2

)-10=1024，3×（-10）²=300，(

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)x＜3x2不成立；
命题②是真命题，∵函数y=(

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)x在[x₂，+∞）上是减函数，函数y=3x²在[x₂，+∞）上是增函数，
∴当x＞x₂时，(

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)x＜(

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)x2=3

x

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＜3x2；
（2）构造函数f(x)=3x2-(

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)x，则f（0）=-1＜0，f(1)=

5

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＞0，
∴f（x）在区间（0，1）内有零点，又∵函数f(x)=3x2-(

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2

)x在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，1）内的零点唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；