Question

已知点P为圆x²+y²=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分．

Answer 1

分析：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，根据点P（x，2y）在圆x²+y²=4上，得出x，y之间的关系即为曲线C的方程；
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，将直线l的方程代入曲线C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用“要使∠ANB被x轴平分，只要k_AN+k_BN=0”即可证得在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分，从而解决问题．

解答：解：（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，曲线C的方程为

x2

4

+y2=1(y≠0)．（2分）
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，（3分）
代入曲线C的方程

x2

4

+y2=1，可得（s²+4）y²+2tsy+t²-4=0，（5分）
∵0＜t＜2，∴△=（2ts）²-4（s²+4）（t²-4）=16（s²+4-t²）＞0，
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）（6分）
设点A，B的坐标分别（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则y1+y2=

-2ts

s2+4

，y1y2=

t2-4

s2+4

，
要使∠ANB被x轴平分，只要k_AN+k_BN=0，（9分）
即

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，y₁（x₂-n）+y₂（x₁-n）=0，（10分）
也就是y₁（sy₂+t-n）+y₂（sy₁+t-n）=0，2sy₁y₂+（t-n）（y₁+y₂）=0，
即2s•

t2-4

s2+4

+(t-n)•

(-2ts)

s2+4

=0，即只要（nt-4）s=0（12分）
当n=

4

t

时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．（13分）
所以在x轴上存在定点N(

4

t

，0)，使得∠ANB总能被x轴平分．（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的应用、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．对于存在性问题，可先假设存在，求出满足题意的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．