Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB． （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD， ∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC= ，
∴∠DCA=∠BAC= ，
又AC⊥AD，
故△DAC为等腰直角三角形，
∴DC= AC= （ AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则 = =2．
连接EM，在△BPD中， = =2，∴PD∥EM，
又PD/平面EAC，EM平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设 =（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则 ⊥ ， ⊥ ，
∵ =（3，3，0）， =（0，2，1），
∴ 解得x= ，y=﹣ ，
∴ =（ ，﹣ ，1）．
设 =（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则 ⊥ ， ⊥ ，
又 =（3，0，0）， =（0，﹣3，3），
∴ ，
解得x′=0，y′=1，
∴ =（0，1，1）．
（取PB中点为F，连接AF可证 为平面PBC的一个法向量．）
∵cos＜ ， ＞= = ，
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为
注：以其他方式建系的参照给分．

【解析】（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)的相关知识才是答题的关键．