题目内容

阅读材料:某同学求解sin18°的值其过程为:设α=18°,则5α=90°,从而3α=90°-2α,于是cos3α=cos(90°-2α),即cos3α=sin2α,展开得4cos3α-3cosα=2sinαcosα,∴cosα=cos18°≠0,∴4cos2α-3=2sinα,化简,得4sin2α+2sinα-1=0,解得sinα=
-1±
5
4
,∵sinα=sin18°∈(0,1),∴sinα=
-1+
5
4
(sinα=
-1-
5
4
<0舍去),即sin18°=
-1+
5
4
.试完成以下填空:设函数f(x)=ax3+1对任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为
4
4
分析:先求出f′(x)=0时x的值,进而讨论函数的增减性得到f(x)的最小值,对于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围.
解答:解:由题意,f′(x)=3ax2-3,
当a≤0时3ax2-3<0,函数是减函数,f(0)=1,只需f(1)≥0即可,解得a≥2,与已知矛盾,
当a>0时,令f′(x)=3ax2-3=0解得x=±
a
a

①当x<-
a
a
时,f′(x)>0,f(x)为递增函数,
②当-
a
a
<x<
a
a
时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,
③当x>
a
a
时,f(x)为递增函数.
所以f(
a
a
)≥0,且f(-1)≥0,且f(1)≥0即可
由f(
a
a
)≥0,即a•(
a
a
)3-3•
a
a
+1≥0,解得a≥4,
由f(-1)≥0,可得a≤4,
由f(1)≥0解得2≤a≤4,
综上a=4为所求.
故答案为:4.
点评:本题以函数为载体,考查学生解决函数恒成立的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
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