Question

在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁，a₄，a₈成等比数列．
（1）已知数列{a_n}的前10项和为45，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，且数列{b_n}的前n项和为T_n，若Tn=

1

9

-

1

n+9

，求数列{a_n}的公差．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₄，a₈成等比数列得到首项和公差的关系，再由数列{a_n}的前10项和为45列式求出首项和公差，则答案可求；
（2）利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，由Tn=

1

9

-

1

n+9

可求出数列{a_n}的公差．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₄，a₈成等比数列可得，a42=a1•a8．
即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，
∴a12+6a1d+9d2=a12+7a1d，而d≠0，∴a₁=9d．
（1）由数列{a_n}的前10项和为45，得S10=10a1+

10×9

2

d=45，
即90d+45d=45，故d=

1

3

，a₁=3，
故数列{a_n}的通项公式为an=3+(n-1)•

1

3

=

1

3

(n+8)；
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)=

1

d

(

1

9d

-

1

9d+nd

)=

1

d2

(

1

9

-

1

n+9

)=

1

9

-

1

n+9

．
故数列{a_n}的公差d=1或d=-1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的和，关键是对数列通项的列项的掌握，是中档题．