题目内容

设函数f（x）=2sin（ωx+ $数学公式$ ）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按 $数学公式$ =（ $数学公式$ ，-1）平移后得一奇函数，
（Ⅰ）求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n为其前N项的和，求S₂₀₁₀的值．

解：（Ⅰ）由题意，设函数f（x）=2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-1）平移后，得到函数g（x），则 $\text{[math]}$
∵g（x）为奇函数
∴所以k=1， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵0＜ω＜π，∴ $\text{[math]}$
∴f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）+1┅┅┅┅┅（3分）
∵x∈[0，2]，∴ $\text{[math]}$
∴sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
∴f（x）∈[0，3]┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）∵a_n=f（n），∴a_n=2sin（ $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ）+1，T=4
∴ $\text{[math]}$ ┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴S₂₀₁₀=502（ $\text{[math]}$ +a₁+a₂=2009+ $\text{[math]}$ ┅┅┅（12分）
分析：（Ⅰ）根据将f（x）的图象按 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-1）平移，可得到平移后的函数 $\text{[math]}$ ，利用g（x）为奇函数，可得k=1， $\text{[math]}$ ，结合0＜ω＜π，即可求得函数f（x）的解析式，进而整体思维，由x∈[0，2]，确定 $\text{[math]}$ ，从而可求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）由a_n=f（n），可得a_n=2sin（ $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ）+1，数列的周期为4，根据S₂₀₁₀=502（ $\text{[math]}$ +a₁+a₂，可得结论．
点评：本题以向量的平移为载体，考查数列与三角函数的结合，考查三角函数的性质，同时考查了三角函数的值域，综合性强．