题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的右顶点为A（2，0），右焦点为F、O为坐标原点，点F，A到渐近线的距离之比为 $数学公式$ ，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．
（I）求双曲线的方程及k的取值范围；
（II）是否存在常数k，使得向量 $数学公式$ 垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

解：（I）由题意，a=2
根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴c= $\text{[math]}$ ，∴b= $\text{[math]}$ =1
∴双曲线的方程为 $\text{[math]}$
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k²-1）x²+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k²-1≠0且△=256k²-80（4k²-1）＞0，即 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
解得- $\text{[math]}$ ＜k＜ $\text{[math]}$ 且k≠ $\text{[math]}$ ；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，y₁+y₂）， $\text{[math]}$ =（-2，2）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直
∴-2（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0
∴（x₁+x₂）（k-1）+4=0
∴ $\text{[math]}$ +4=0
∴k= $\text{[math]}$
∴存在常数k= $\text{[math]}$ ，使得向量 $\text{[math]}$ 垂直．
分析：（I）由题意，a=2根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可得双曲线的方程；设出直线方程代入双曲线方程，利用根的判别式，即可求k的取值范围；
（II）用坐标表示向量，利用向量的数量积为0，建立方程，即可得到结论．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．