题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=
．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
分析：（I）根据椭圆的端点坐标与离心率，求出a、b，即可得椭圆的标准方程．
（II）根据三角形的面积，Q点应在与OP平行的直线上，利用直线与椭圆方程求出Q点的坐标满足的条件，再分析求满足条件的整数点．
（II）根据三角形的面积，Q点应在与OP平行的直线上，利用直线与椭圆方程求出Q点的坐标满足的条件，再分析求满足条件的整数点．
解答：解：（I）设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），
根据题意b=4，
=
，∵a2=b2+c2
∴a=5，c=3
∴椭圆的方程是
+
=1
（II）|OP|=2
，直线OP的方程是y=x，
设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，
∵S△OPQ=4，∴d=
=2
⇒m=±4
∴Q点在直线 y=x±4上，
当m=4时，
⇒41x2+200x＜0⇒-
＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分别对应有四个整数点；
当m=-4时，由对称性，同理满足条件的点Q也有四个，
综上，存在满足条件的整数点有8个．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
根据题意b=4，
| c |
| a |
| 3 |
| 5 |
∴a=5，c=3
∴椭圆的方程是
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（II）|OP|=2
| 2 |
设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，
∵S△OPQ=4，∴d=
| |m| | ||
|
| 2 |
∴Q点在直线 y=x±4上，
当m=4时，
|
| 200 |
| 41 |
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分别对应有四个整数点；
当m=-4时，由对称性，同理满足条件的点Q也有四个，
综上，存在满足条件的整数点有8个．
点评：本题借助存在性问题考查直线与圆锥曲线的位置关系．存在性问题的解题思路是：假设存在，根据条件求解，若解出，说明存在；若得出矛盾或解不出，则说明不存在．
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