Question

为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置．从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB=15km，观测站B的观测半径为5km．


（Ⅰ）根据表中数据：①计算鲸沿海岸线方向运动的速度，②写出a、b满足的关系式并画出鲸的运动路线简图；
（Ⅱ）若鲸继续以（Ⅰ）中②的运动路线运动，则鲸大约经过多少分钟（从放归时计时），可进入前方观测站B的观测范围（精确到1分钟）？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由表中数据知：①鲸沿海岸线方向运行的速度为（km/分钟），②a、b满足的关系式为，由此能作出鲸的运动路线图．
（Ⅱ）设鲸所在的位置为点P，点P位于点C的正北方向bkm，点C位于点A的正东方向akm．由，AB=15km，依题意，当鲸到观测站B的距离不大于5时进入观测站B的观测范围，所以．由此能求出鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围．
解答：解：（Ⅰ）由表中数据知：
①鲸沿海岸线方向运行的速度为（km/分钟），
②a、b满足的关系式为，
鲸的运动路线图如图1：

（Ⅱ）如图2，设鲸所在的位置为点P，
点P位于点C的正北方向bkm，
点C位于点A的正东方向akm
由（Ⅰ）知．
又AB=15km，依题意，当鲸到观测站B的距离不大于5时进入观测站B的观测范围，
∴，
∴（a-15）²+a≤25，
即 a²-29a+200≤0，
∴11.3≤a≤17.7．
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为（分钟）．
答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．