题目内容
设f(x)=
•
.其中向量
=(
sinωx,
cosωx+1),
=(
cosωx,
cosωx-1)
(1)当ω=1,x∈(0,
)时,求函数f(x)的值域;
(2)当ω=-1时,求函数f(x)的单调递减区间.
a |
b |
a |
2 |
2 |
b |
2 |
2 |
(1)当ω=1,x∈(0,
π |
2 |
(2)当ω=-1时,求函数f(x)的单调递减区间.
分析:(1)根据向量数量积的坐标公式,可得f(x)=
•
=
sin(2ωx+
),由ω=1,x∈(0,
),求出相位角的取值范围,结合正弦型函数的图象和性质,可得函数f(x)的值域;
(2)当ω=-1时,函数f(x)=-
sin(2x-
),则函数f(x)的单调递减区间即求f(x)=
sin(2x-
)的单调递增区间,由正弦函数的单调性,构造不等式,解不等式可得函数f(x)的单调递减区间.
a |
b |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
(2)当ω=-1时,函数f(x)=-
2 |
π |
4 |
2 |
π |
4 |
解答:解:∵
=(
sinωx,
cosωx+1),
=(
cosωx,
cosωx-1)
∴f(x)=
•
=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=
sin(2ωx+
)…(3分)
(1)当ω=1时,f(x)=
sin(2x+
)
∵x∈(0,
),∴
<2x+
<
,-
<sin(2x+
)≤1,
∴-1<f(x)≤
,函数f(x)的值域是(-1,
].…(7分)
当ω=-1时,f(x)=
sin(-2x+
)=-
sin(2x-
)
求函数f(x)的单调递减区间即求f(x)=
sin(2x-
)的单调递增区间
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
得kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z
∴当ω=-1时,函数f(x)的单调递减区间是[kπ-
,kπ+
],k∈Z.…(12分)
a |
2 |
2 |
b |
2 |
2 |
∴f(x)=
a |
b |
=
2 |
π |
4 |
(1)当ω=1时,f(x)=
2 |
π |
4 |
∵x∈(0,
π |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
5π |
4 |
| ||
2 |
π |
4 |
∴-1<f(x)≤
2 |
2 |
当ω=-1时,f(x)=
2 |
π |
4 |
2 |
π |
4 |
求函数f(x)的单调递减区间即求f(x)=
2 |
π |
4 |
由2kπ-
π |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
得kπ-
π |
8 |
3π |
8 |
∴当ω=-1时,函数f(x)的单调递减区间是[kπ-
π |
8 |
3π |
8 |
点评:本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象和性质,熟练掌握正弦函数的图象和性质,是解答的关键.

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