题目内容

f(x)=
a
b
.其中向量
a
=(
2
sinωx,
2
cosωx+1)
b
=(
2
cosωx,
2
cosωx-1)

(1)当ω=1,x∈(0,
π
2
)
时,求函数f(x)的值域;
(2)当ω=-1时,求函数f(x)的单调递减区间.
分析:(1)根据向量数量积的坐标公式,可得f(x)=
a
b
=
2
sin(2ωx+
π
4
)
,由ω=1,x∈(0,
π
2
)
,求出相位角的取值范围,结合正弦型函数的图象和性质,可得函数f(x)的值域;
(2)当ω=-1时,函数f(x)=-
2
sin(2x-
π
4
)
,则函数f(x)的单调递减区间即求f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)
的单调递增区间,由正弦函数的单调性,构造不等式,解不等式可得函数f(x)的单调递减区间.
解答:解:∵
a
=(
2
sinωx,
2
cosωx+1)
b
=(
2
cosωx,
2
cosωx-1)

∴f(x)=
a
b
=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=
2
sin(2ωx+
π
4
)
…(3分)
(1)当ω=1时,f(x)=
2
sin(2x+
π
4
)

x∈(0,
π
2
)
,∴
π
4
<2x+
π
4
4
-
2
2
<sin(2x+
π
4
)≤1

-1<f(x)≤
2
,函数f(x)的值域是(-1,
2
]
.…(7分)
当ω=-1时,f(x)=
2
sin(-2x+
π
4
)
=-
2
sin(2x-
π
4
)

求函数f(x)的单调递减区间即求f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)
的单调递增区间
2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2

kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8
,k∈Z
∴当ω=-1时,函数f(x)的单调递减区间是[kπ-
π
8
,kπ+
8
],k∈Z.…(12分)
点评:本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象和性质,熟练掌握正弦函数的图象和性质,是解答的关键.
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