Question

某地方政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=6km，AO=3km，曲线段OC是二次函数y=ax²图象的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区BQPN的用地面积最大？并求出最大的用地面积．

Answer 1

分析：把点C（3，6）在y=ax²的图象上，即可得出a．进而得到工业园区面积S_BQPN=|PQ|•|PN|的表达式，利用导数即可得出其最大值．

解答：解：依题意点C（3，6）在y=ax²的图象上，代人得y=

2

3

x2（0≤x≤3）．
设P(x，

2

3

x2)（0≤x≤3）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=3+x，|PN|=6-

2

3

x2．
∴工业园区面积S_BQPN=|PQ|•|PN|=(3+x)(6-

2

3

x2)=-

2

3

x3-2x2+6x+18（0≤x≤3）．
∴S′=-2x²-4x+6，令S′=0解得x=1或3．
又∵0≤x＜3，∴x=1．
当x∈[0，1）时，S′＞0，S是x的增函数；
当x∈（1，3）时，S′＜0，S是x的减函数．
∴x=1时，S取到极大值，也是最大值，
此时|PQ|=3+x=4，|PN|=6-

2

3

x2=

16

3

，S=4×

16

3

=

64

3

，
所以当x=1即|PM|=4，|PN|=

16

3

时，矩形的面积最大为

64

3

（km²）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．