题目内容

【题目】四棱锥PABCD中,ABCDABBCABBC1PACD2PA⊥平面ABCDE在棱PB上.

(Ⅰ)求证:ACPD

(Ⅱ)若VPACE,求证:PD∥平面AEC

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析

【解析】

I)过,判断出四边形为则方程,由此证得,结合证得平面,从而证得.

II)利用题目所给体积求得到平面的距离,连接,连接,通过证明,证得,由此证得平面.

(Ⅰ)过AAFDCF,∵ABCDABBCABBC1,∴四边形ABCF为正方形,则CFDFAF1

∴∠DAC90°,得ACDA,又PA⊥底面ABCDAC平面ABCD,∴ACPA

PAAD平面PADPAADA,∴AC⊥平面PAD,又PD平面PAD,∴ACPD

(Ⅱ)设E到平面ABCD的距离为h,则VPACE,得h

PA2,则PBEBPAh31.∵BC1CD2,∴DB,连接DBACO,连接OE

∵△AOB∽△COD,∴DOOB21,得DBOB31

PBEBDBOB,则PDOE.又OE平面AECPD平面AEC,∴PD∥平面AEC

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