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精英家教网如图,A,B,C是三个汽车站,AC,BE是直线型公路.已知AB=120km,∠BAC=75°,∠ABC=45°.有一辆车(称甲车)以每小时96(km)的速度往返于车站A,C之间,到达车站后停留10分钟;另有一辆车(称乙车)以每小时120(km)的速度从车站B开往另一个城市E,途经车站C,并在车站C也停留10分钟.已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出.
(1)计算A,C两站距离,及B,C两站距离;
(2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上,问能否在车站C处利用停留时间交换.
(3)求10点时甲、乙两车的距离.
(参考数据:
2
≈1.4
3
≈1.7
6
≈2.4
331
≈18.2
分析:(1)在△ABC中,∠ACB=60°,利用
AB
sin60°
=
BC
sin75°
=
AC
sin45°
,可求A、C,B、C两站距离;
(2)先分别求甲车从车站A开到车站C,乙车从车站B开到车站C的时间,从而可确定两名旅客能否在车站C处利用停留时间交换;
(3)先求10点时甲车离开C站的距离为,乙车离开C站的距离,再利用余弦定理求两车的距离.
解答:解:(1)在△ABC中,∠ACB=60°.∵
AB
sin60°
=
BC
sin75°
=
AC
sin45°

AC=
120sin45°
sin60°
=
120×
2
2
3
2
=40
6
≈96(km)
BC=
120sin75°
sin60°
=
120×
6
+
2
4
3
2
=60
2
+20
6
≈132(km)

(2)甲车从车站A开到车站C约用时间为
96
96
=1
(小时)=60(分钟),即9点到C站,至9点零10分开出.
乙车从车站B开到车站C约用时间为
132
120
=1.1
(小时)=66(分钟),即9点零6分到站,9点零16分开出.
则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.
(3)10点时甲车离开C站的距离为
50
60
×96=80(km)
,乙车离开C站的距离为
44
60
×120=88(km)

两车的距离等于
802+882-2×80×88×cos120°
=8
100+121+110
=8
331
≈8×18.2=145.6(km)
点评:本题主要考查利用正弦、余弦定理解决实际问题,关键是构建三角形,确定边角关系.
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