题目内容
4．已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2与x=$\frac{2}{3}$处都取得极值．（1）求a、b的值；
（2）若对?x∈[-3，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求c的取值范围．
分析 （1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-2与x=$\frac{2}{3}$代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（-2），要使不等式恒成立，既要证f（-2）＜0，即可求出c的取值范围．
解答 解：（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c，
∴f′（x）=3x2+2ax+b …（1分）
∵f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2与x=$\frac{2}{3}$处都取得极值
∴f′（-2）=12-4a+b=0，f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$a+b=0…（3分）
解得a=2，b=-4 …（4分）
（Ⅱ） 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表
| x | -3 | （-3，-2） | -2 | （-2，$\frac{2}{3}$） | $\frac{2}{3}$ | （$\frac{2}{3}$，1） | 1 |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | c+3 | ↗ | 极大值c+8 | ↘ | 极小值c-$\frac{40}{27}$ | ↗ | c-1 |
∵对?x∈[-3，1]，不等式f（x）＜0恒成立，
∴c+8＜0，解得c＜-8．…（12分）
点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，属于中档题．
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已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AD=1，SA=AB=BC=2．
12．在区间[$\frac{1}{2}$，2]上，函数f（x）=x2+px+q与g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是（ ）
| A． | $\frac{13}{4}$ | B． | $\frac{5}{4}$ | C． | 8 | D． | 4 |
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，点E为棱SD的中点．