Question

如果一个函数的定义域是值域的真子集，那么称这个函数为“思法”函数．
（1）判断指数函数、对数函数是否为思法函数，并简述理由；
（2）判断幂函数y=x^α（α∈Q）是否为思法函数，并证明你的结论；
（3）已知是思法函数，且不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）对所有的f_t（x）都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵指数函数的定义域是R，值域（0，+∞）．
∴指数函数不是思法函数
对数函数的定义域是（0，+∞），值域R，
故对数函数是思法函数．
（2）幂函数y=x^α（α∈Q）不是思法函数．证明如下：
1）当α=0时，显然y=x⁰不是思法函数；
2）当α＞0时，设（其中m，n是互质的正整数）．
①若n为偶数，则m为奇数，定义域和值域都是[0，+∞），不是思法函数；
②若n为奇数，当m为奇数时，定义域和值域都是R，不是思法函数；
当m为偶数时，定义域R，值域是[0，+∞），不是思法函数．
3）当α＜0时，设（其中m，n是互质的正整数）
①若n为偶数，则m为奇数，定义域和值域都是（0，+∞），不是思法函数；
②若n为奇数，当m为奇数时，定义域和值域都是（-∞，0）∪（0，+∞），不是思法函数；
当m为偶数时，定义域（-∞，0）∪（0，+∞），值域是（0，+∞），不是思法函数．
综上所述；幂函数y=x^α（α∈Q）不是思法函数．
（3）令y=lnu，u=x²+2x+t．则u=（x+1）²+t-1
①当△=4-4t＜0，即t＞1时，恒有u≥t-1＞0．
故f_t（x）的定义域为R，值域为[ln（t-1），+∞），f_t（x）不是思法函数；
②当△=4-4t≥0，即t≤1时，u=x²+2x+t能取（0，+∞）中的一切值，
故f_t（x）的值域为R．定义域不是R，f_t（x）是思法函数．
因此，f_t（x）是思法函数?t∈（-∞，1]．
又，
令，则k≥g（t）_max．
∵在（-∞，1]上是增函数，
故．
所以．
分析：（1）根据指数函数、对数函数的图象和性质，结合思法函数的定义，可得结论；
（2）根据幂函数y=x^α（α∈Q）的图象和性质，分别讨论α=0，α＞0和α＜0三种情况下，函数的定义域和值域，结合思法函数的定义，可得结论；
（3）根据是思法函数，令y=lnu，u=x²+2x+t．结合思法函数的定义及二次函数的图象和性质，由不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）对所有的f_t（x）都成立，构造关于k的不等式，可得实数k的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域，值域，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数、二次函数的图象和性质，是解答的关键．