Question

在内切圆半径为r（定值）的直角三角形中，试证明等腰三角形的周长为最短．

Answer 1

分析：设两直角边为a和b，斜边为c，周长为l，根据直角三角形内切圆的性质可知，

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，进而根据均值不等式建立关于l的不等式求得l的范围，确定当a=b时取等号，

解答：证明：设两直角边为a和b，斜边为c，周长为l
则

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，
∴a+b=

l+2r

2

，ab=lr
∵4ab≤（a+b）²，当且仅当a=b时取等号，
∴4lr≤（

l+2r

2

）²，解得l≥6+4

2

故当a=b时周长最短．
即等腰三角形的周长为最短．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是判断取最值时满足的条件．