Question

已知圆C经过A（0，1），B（4，a）（a∈R）两点．
（1）当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；
（2）当a=1时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；
（3）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，圆心为线段AB的中点，半径等于

1

2

AB=

5

，由此求得所求的圆的方程．
（2）a=1时，圆过A（0，1），B（4，1），设圆的半径为r，则由圆C与x轴相切可得圆心为（2，r），再根据r²=|CA|²求出r的值，即可求得圆C的方程．
（3）由AB是圆C的直径，设圆心C的坐标为 （x，y），由于直径对的圆周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，由此求得动圆的方程，从而求出此圆过定点（4，1）．

解答：解：（1）由题意可得，圆心为线段AB的中点，故圆心坐标C（2，2），半径等于

1

2

AB=

5

，故所求的圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）a=1时，圆过A（0，1），B（4，1），设圆的半径为r，则由圆C与x轴相切可得圆心为C（2，r）．
r²=4+（r-1）²，r=

5

2

，故所求的圆的方程为  (x-2)2+(y-

5

2

)2=

25

4

．
（3）∵AB是圆C的直径，设圆心C的坐标为 （x，y），由于直径对的圆周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，即 （x，y-1）•（x-4，y-a）=0，
故动圆的方程为：x（x-4）+（y-1）（y-a）=0，则当x=4，y=1时，（x，y-1）•（x-4，y-a）=0恒成立，
故圆C经过定点（4，1）．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于中档题．