Question

如图是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比．

Answer 1

分析：（1）如图所示，连接BQ、PB，则MN∥BQ，所以∠PQB即为异面直线MN与PQ所成的角，进而在正△PBQ中求即可．
（2）利用V_{三棱锥M-NPQ}=V_{三棱锥Q-MNP}，可求出四面体M-NPQ的体积，进而求出答案．

解答：解：（1）如图所示，连接BQ、PB，则MN∥BQ，∴∠PQB即为异面直线MN与PQ所成的角．
又由正方体可知：△PBQ为正三角形，∴∠PQB=60°，
∴异面直线MN与PQ所成的角为60°．
（2）设此正方体的棱长为1，则V_正方体QN=1，V_{三棱锥Q-MNP}=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
又∵V_{三棱锥M-NPQ}=V_{三棱锥Q-MNP}，
∴

V三棱锥M-NPQ

V正方体NQ

=

1 6

1

=

1

6

．

点评：本题考查了正方体中的异面直线所成的角和三棱锥的体积，恰当的转化是解决问题的关键．