题目内容

已知抛物线 y²=4 $数学公式$ x 的焦点和双曲线E： $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且双曲线的离心率为 e= $数学公式$ ，则双曲线的方程为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$ =1
D.
$数学公式$

A
分析：根据抛物线方程 y²=4 $\text{[math]}$ x，可得抛物线焦点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）．再根据双曲线的离心率为e= $\text{[math]}$ ，结合c²=a²+b²，得到c= $\text{[math]}$ a，b= $\text{[math]}$ a，从而双曲线右焦点为（c，0）即（ $\text{[math]}$ a，0）．最后根据抛物线的焦点和双曲线一个焦点重合列式，解之得a=2，b= $\text{[math]}$ a=1，得到该双曲线的方程．
解答：∵抛物线方程为 y²=4 $\text{[math]}$ x，
∴抛物线的2p= $\text{[math]}$ ，可得抛物线焦点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）
∵双曲线E的方程是： $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0），离心率为 e= $\text{[math]}$ ，
∴c²=a²+b²，且c= $\text{[math]}$ a，可得b= $\text{[math]}$ a
可得双曲线右焦点为（c，0）即（ $\text{[math]}$ a，0）
又∵抛物线的焦点和双曲线一个焦点重合，
∴ $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ ，解之得a=2，b= $\text{[math]}$ a=1
因此，该双曲线的方程为 $\text{[math]}$
故选A
点评：本题给出一个双曲线的焦点恰好与抛物线的焦点重合，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的简单几何性质，属于基础题．