Question

向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟

8

3

m³，当水深为5m时，水面上升的速度是每分钟

32

75

m．

Answer 1

分析：利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度．

解答：解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，V=

8

3

t
又V=

1

3

×CD²•h，
图知

CD

AD

=

BO

AO

⇒

CD

h

=

4

8

⇒CD=

1

2

h，
∴V=

1

3

•(

1

2

h)2•h=

1

12

h³，
∴

8

3

t=

1

12

h³，⇒h=

3	32t

，
∴h^′=

3	32

×

1

3

×t-

2

3

．
h=5，t=

125

32

，h^′=

32

75

．
∴当h=5米时，水面上升速度为

32

75

米/分．
故答案为：

32

75

．

点评：本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速度．