题目内容
设椭圆的中心和抛物线
的顶点均为原点
,
、
的焦点均在
轴上,过
的焦点F作直线
,与
交于A、B两点,在
、
上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求,
的标准方程;
(2)若与
交于C、D两点,
为
的左焦点,求
的最小值;
(3)点是
上的两点,且
,求证:
为定值;反之,当
为此定值时,
是否成立?请说明理由.
(1)
:
;(2)
;(3)证明见解析.
解析试题分析:(1)分析哪些点在椭圆上,哪些点在抛物线上,显然是椭圆的顶点,因此
,从而点
是椭圆上的点,另两点在抛物线上,代入它们的标准方程可求得其方程;(2)
与
的顶点都是
,底在同一直线上,因此基、其面积之比为底的比,即
,这样我们只要求出直线
与已知两曲线相交弦长即可,直线
与曲线
交于两点,其弦长为
,当然由于直线过圆锥曲线的焦点,弦长也可用焦半径公式表示;(3)从题意可看出,只有把
,
求出来,才能得出结论,为了求
,
,我们可设
方程为
,则
方程为
,这样
,
都能用
表示出来,再计算
可得其为定值
,反之若
,我们只能设
方程为
,
方程为
,分别求出
,代入此式,得出
,如果一定能得到
1,则就一定有
,否则就不一定有
.
试题解析:(1)在椭圆上,
在抛物线上,
:
(4分)
(2)(理)
=
.
是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线
的斜率存在时,
设:
,
,
联立方程,得
,
时
恒成立.
(也可用焦半径公式得:) (5分)
联立方程,得
,
恒成立.
, (6分)
=
. (8分)
②当直线的斜率不存在时,
:
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