题目内容

设函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足 $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 $数学公式$ ，试比较 S_n与 $数学公式$ 的大小，并加以证明．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是首项为1，公差为 2 的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ …（6分）
即数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
∴ $\text{[math]}$ …（7分） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
∴ $\text{[math]}$
故比较 $\text{[math]}$ 的大小，只需比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小即可 …（11分）
即只需比较 2n+1与4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故 $\text{[math]}$ …（13分）
分析：解：（1）由已知， $\text{[math]}$ 可求a₁=1，由 $\text{[math]}$ 可得a_n+1-a_n=2，从而可得数列{a_n}是首项为1，公差为 2 的等差数列，从而可求通项公式
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，则有数列{b_n}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求S_n，利用裂项求和可求T_n，故比较 $\text{[math]}$ 的大小，只需比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小即可，即只需比较 2n+1与4ⁿ的大小，利用二项展开式即可
点评：本题主要考查了利用递推公式构造等差（等比）数列求解数列的通项公式，（2）综合考查了等比数列的前n项和公式及裂项求和的方法在求解数列的和中的应用，结局（2）的关键是要把所求的问题进行转换，结合二项展开式求解即可．