Question

据行业协会预测：某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则销售量将减少mx%，且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过80%，其中m为正常数．
（1）当m=

1

2

时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？
（2）如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要求当m=

1

2

时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大，我们要根据已知条件先构造出函数的解析式，然后根据二次函数求最值的方法，求出销售的总金额的最大值．
（2）由（1）中的解析式，我们易得=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立，然后转化为一个恒成立问题，即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）设产品每吨价格上涨x%时，销售总金额为y元．
则y=10（1+x%）′1000（1-mx%）
=-mx²+100（1-m）x+10000
当m=

1

2

时，y=-

1

2

（x-50）²+11250，
故当x=50时，y_max=11250（元）．
（2）y=-mx²+100（1-m）x+10000x∈（0，80]
y=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000在x∈（0，80]恒成立
除去x得，-mx+100（1-m）＞0在x∈（0，80]恒成立
m为正常数，

100(1-m)

m

＞x，
而x∈（0，80]，
故

100(1-m)

m

＞80，
∴m∈(0，

5

9

)．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．