题目内容

设z是复数，试解方程 $数学公式$ ．

解：设z=x+yi，其中x，y∈R，…（2分）
则 $\text{[math]}$ ，原方程可以化成：
（x+yi）（x-yi）-3i（x-yi）=1+3i，即 x²+y²-3xi-3y=1+3i，
即（x²+y²-3y）-3xi=1+3i．…（6分）
故有 $\text{[math]}$ ，…（8分）
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，…（10分）
故z₁=-1，z₂=-1+3i．…（12分）
分析：设z=x=yi，其中x，y∈R，代入条件化简可得（x²+y²-3y）-3xi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件可得 $\text{[math]}$ ，求出x、y的值，即可得到复数z．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，两个复数相等的充要条件，属于基础题．