Question

过椭圆的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）设C（﹣2，0），求tan∠ACB．

Answer 1

解：（1）由椭圆方程，a= ，b=1，c=1，则点F为（﹣1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得（2k²+1）x²+4k²x+2k²﹣2=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则 x₀= =﹣ ，y₀=k（x₀+1）= ，
由点M在直线x+2y=0上，知﹣2k²+2k=0，
∵k≠0， ∴k=1．
（2）将k=1代入①式，得3x²+4x=0，不妨设x₁＞x₂，则x₁=0，x₂=﹣ ，
记α=∠ACF，β=∠BCF，则 tanα= = = ，tanβ=﹣ =﹣ = ，
∴α=β， ∴tan∠ACB=tan2α= = ．