Question

给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为

①

①已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，

AO

，

OB

为不共线向量，又

OP

=a₁

OA

+a₂₀₁₂

OB

，若

PA

=λ

PB

，则S₂₀₁₂=1006．
②“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是函数“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
③已知函数f（x）=|x²-2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1．

Answer 1

分析：①利用向量共线的条件，求出a₁+a₂₀₁₂=1，然后利用等差数列的性质求前n项和．②根据三角形的性质进行判断．③根据条件求出a，b的取值范围，结合点到直线的距离公式进行判断．

解答：解：①∵

AO

，

OB

为不共线向量，又

OP

=a₁

OA

+a₂₀₁₂

OB

，若

PA

=λ

PB

，∴a₁+a₂₀₁₂=1，∴在等差数列中S₂₀₁₂=

2012(a1+a2012)

2

=1006×1=1006，∴①正确．
②根据积分的几何意义可知a=

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π=

π

4

，y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax，则若函数的最小正周期为4，则T=

2π

|2a|

=4，解得a=±

π

4

，
∴②错误．
③∵函数f（x）=|x²-2|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故动点P（a，b）在圆a²+b²=4在0＜a＜b的上部阴影部分，
动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径：d-r=

15

3

-2=3-2=1，
但由图象可知，圆上和直线4x+3y-15=0垂直的点不在阴影部分内部，∴③错误．．
故答案为：①．

点评：本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．