题目内容

（2013•浙江）设
e1
、
e2
为单位向量，非零向量
b
=x
e1
+y
e2
，x、y∈R．若
e1
、
e2
的夹角为30°，则
|x|
|
b
|
的最大值等于
2
2
．
分析：由题意求得 
e1
•
e2
=
3
2
，|
b
|=
b
2
=
x2+
3
xy+y2
，从而可得 
|x|
|b|
=
|x|
x2+
3
xy+y2
=
x2
x2+
3
xy+y2

=
1
(
y
x
+
3
2
)2+
1
4
，再利用二次函数的性质求得
|x|
|b|
的最大值．
解答：解：∵
e1
、
e2
 为单位向量，
e1
和
e2
的夹角等于30°，∴
e1
•
e2
=1×1×cos30°=
3
2
．
∵非零向量
b
=x
e1
+y
e2
，∴|
b
|=
b
2
=
x2+2xy
e1
•
e2
+y2
=
x2+
3
xy+y2
，
∴
|x|
|b|
=
|x|
x2+
3
xy+y2
=
x2
x2+
3
xy+y2
=
1
1+
3
•
y
x
+(
y
x
)2
=
1
(
y
x
+
3
2
)2+
1
4
，
故当
y
x
=-
3
2
时，
|x|
|b|
取得最大值为2，
故答案为 2．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
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-1
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不存在
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5
3
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5
9
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