Question

20．设函数f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$（2分）
当a=1时，f（x）=lnx-x-1，
则f（1）=-2，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，则f′（1）=0，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2   （6分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x-（1-a）}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）[ax-（1-a）]}{{x}^{2}}$，f（x）的定义域为（0，+∞），（7分）
当a=0时，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）（8分）
当a≠0时，$\frac{1-a}{a}＞1$，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（1，$\frac{1-a}{a}$），减区间为（0，1），（$\frac{1-a}{a}$，+∞）（9分）
当$\frac{1-a}{a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$时，f（x）在 （0，+∞）上单调递减   （10分）
当$\frac{1-a}{a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$或a＜0，
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（$\frac{1-a}{a}$，1），减区间为（0，$\frac{1-a}{a}$），（1，+∞），（11分）
当a＜0时，f（x）的增区间为（0，$\frac{1-a}{a}$），（1，+∞），减区间为（$\frac{1-a}{a}$，1）（12分）

点评 本题主要考查函数导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．