Question

已知数列{a_n}是等差数列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判断数列{c_n}是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k（k为常数），试写出数列{c_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列{c_n}得前n项和为S_n，问是否存在这样的实数k，使S_n当且仅当n=12时取得最大值．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，则c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=-2d²，所以数列{c_n}是以-2d²为公差的等差数列．
（2）由a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能导出a_n=a₁+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出数列{c_n}的通项公式．
（3）因为当且仅当n=12时S_n最大，所以c₁₂＞0，c₁₃＜0，由此能求出k的取值范围．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=2a_n+1²-（a_n+1-d）²-（a_n+1+d）²=-2d²
∴数列{c_n}是以-2d²为公差的等差数列（4分）
（2）∵a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k∴两式相减：13d=13-13k
∴d=1-k（6分）
∴13a1+

13(13-1)

2

×2d=130∴a₁=-2+12k（8分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴c_n=a_n²-a_n+1²=（a_n+a_n+1）（a_n-a_n+1）
=26k²-32+6-（2n+1）（1-k²）
=-2（1-k）²•n+25k²-30k+5（10分）
（3）因为当且仅当n=12时S_n最大
∴有c₁₂＞0，c₁₃＜0（12分）
即

-24(1-k)2+25k-30k+5＞0 -36(1-k)2+25k2-30k+5＜0

?

k2+18k-19＞0 k2-22k+21＞0

?

k＞1或k＜-19 k＞21或k＜1

?k＜-19或k＞21（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．