题目内容

已知A、D分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．
【答案】分析：（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则•=x2+y2-c2，P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，所以P在A点，x2+y2最大，a2-c2=1，由此能求出椭圆方程1．
（2）由椭圆方程为+y2=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．解方程组得（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0．由此能求出存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．
（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，由R=，知n2=R2（1+m2），因为l与椭圆只有一个公共点B1，所以，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解．由此入手能够导出当R=∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．
解答：解：（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，c＞0
则=（-c-x，-y），=（c-x，-y）∴•=x2+y2-c2
∵P在AD上，x2+y2看作线段AD上的点P（x，y）到原点距离的平方，
∴P在A点，x2+y2最大，∴a2-c2=1，
又e==，∴a2=4，b2=1，c2=3，椭圆方程+y2=1．
（2）由（1）知椭圆方程为+y2=1，
①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．
解方程组得x2+4（kx+t）2=4，即（1+4k）2x2+8ktx+4t2-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）=16（4k2-t2+1）＞0
即4k2-t2+1＞0，即t2＜4k2+1，且，
y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=-+t2=，
要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，即+==0，
所以5t2-4k2-4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=，r2===，所求的圆为x2+y2=．
②当切线的斜率不存在时，切线为x=±，与+y2=1交于点（，±）或（-，±）满足．
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=．，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

（3）设直线l的方程为y=mx+n，因为直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，
由（2）知R=，即n2=R2（1+m2）①，因为l与椭圆只有一个公共点B1，
由（2）知得x2+4（mx+n）2=4，即（1+4m2）x2+8mx+4n2-4=0有唯一解，
则△=64m2n2-16（1+4m2）（n2-1）=16（4m2-n2+1）=0，即4m2-n2+1=0，②
由①②得此时A，B重合为B1（x1，y1）点，由中x1=x2，所以x12==，B1（x1，y1）点在椭圆上，所以y12=1-x12=
|OB1|2=x12+y12=5-，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=5--R2=5-（+R2）
因为（+R2）≥4当且仅当R=∈（1，2）时取等号，所以|A1B1|2≤5-4=1
即当R=∈（1，2）时|A1B1|取得最大值，最大值为1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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已知A、D分别为椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=
3
2
，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且
PF1
．
PF2
的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．
精英家教网如图，已知A，B分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞)的右顶点和上顶点，直线 l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线CE，DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积kCE?kDF等于（　　）
A、±
a2
b2
B、±
a2-b2
a2
C、±
b2
a2
D、±
a2-b2
b2

已知A、B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,若∠DBP=,则此椭圆的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1­、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；

（3）设直线l与圆相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

 

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