题目内容
(04年湖南卷文)(12分)
如图,在底面 是菱形的四棱锥P―ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.
(I)证明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;
(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的正切值.
解析:(Ⅰ)证法一 因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,
所以AB=AD=AC=a, 在△PAB中,
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
因为
所以 、、共面.
又PB平面EAC,所以PB//平面EAC.
证法二 同证法一得PA⊥平面ABCD.
连结BD,设BDAC=O,则O为BD的中点.
连结OE,因为E是PD的中点,所以PB//OE.
又PB平面EAC,OE平面EAC,故PB//平面EAC.
(Ⅱ)解 作EG//PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的平面角.
又E是PD的中点,从而G是AD的中点,
所以
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