Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据平面图形折叠后的不变量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；
（2）由题意可得BE=BF，DE=DF，连结BD交EF于点G，连接A'G，则可证明∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF?平面A'EF，∴A'D⊥EF
（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G
∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF，
∴点G为EF的中点，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF
∴∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角
由（1）可得A'D⊥A'G，
∴△A'DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=2

2

，EF=

2

，
∴BG=

2

2

，DG=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
又A'D=2
∴A′G=

DG2-A′D2

=

9 2 -4

=

2

2

∴cos∠A′GD=

A′G

DG

=

2 2

3 2 2

=

1

3

∴二面角A'-EF-D的余弦值为

1

3

方法二：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF=A'E=A'F=1，
∴EF=

2

∴A'E²+A'F²=EF²，∴A'E⊥A'F
由（1）得A'D⊥平面A'EF，
∴分别以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角
坐标系A'-xyz，
则A'（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）
∴

DE

=(1，0，-2)，

DF

=(0，1，-2)，
设平面DEF的一个法向量为

n1

=(x，y，z)，则由

n1 • DE =x-2z=0 n1 • DF =y-2z=0

，
可取

n1

=(2，2，1)
又平面A'EF的一个法向量可取

n2

=(0，0，1)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

4+4+1 •1

=

1

3

∴二面角A'-EF-D的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了二面角的平面角及其求法，利用空间向量求解是新课标意图的体现，关键是建立正确的空间右手系，此题是中档题．