Question

（1）设x＞0，y＞0，且

8

x

+

2

y

=1，求x+y的最小值．
（2）若x∈R，y∈R，求证：

x2+y2

2

≥(

x+y

2

)2．

Answer 1

分析：（1）依题意，x+y=（x+y）（

8

x

+

2

y

），展开后利用基本不等式即可求得x+y的最小值；
（2）作差

x2+y2

2

-(

x+y

2

)2化积判断即可．

解答：证明：（1）∵x＞0，y＞0，

8

x

+

2

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

8

x

+

2

y

）
=8+

2x

y

+

8y

x

+2
≥2

2x y • 8y x

+10=18（当且仅当x=12，y=6时取“=”），
∴x+y的最小值为18．
（2）∵x∈R，y∈R，
∴

x2+y2

2

-(

x+y

2

)2
=

2x2+2y2

4

-

x2+2xy+y2

4

=

x2-2xy+y2

4

=(

x-y

2

)2≥0，
∴

x2+y2

2

≥(

x+y

2

)2．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查作差法，属于中档题．