Question

已知下列四个命题：
①若函数y=f（x）在x_°处的导数f′（x₀）=0，则它在x=x₀处有极值；
②若不论m为何值，直线y=mx+1均与曲线

x2

4

+

y2

b2

=1有公共点，则b≥1；
③若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，则a、b、c中至少有一个不小于2；
④若命题“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则|a+1|＞2；
以上四个命题正确的是

③④

（填入相应序号）

Answer 1

分析：判断命题①，可以举一个例子，如函数f（x）=x³，在x=0处的导数为0，但函数在x=0处无极值；
命题②中的直线过定点（0，1），保证b²≥1，即b≥1或b≤-1的值，都能使点（0，1）在曲线上或其内部；
命题③采用反证法，假设a、b、c都小于2，三个式子相加后重新组合，运用基本不等式可得到与假设矛盾；
命题④转化成“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，然后求a的范围问题直接求解复杂，考虑绝对值的几何意义解决．

解答：解：命题①，设函数f（x）=x³，f^′（0）=0，函数f（x）在x=0处无极值，所以命题①不正确．
命题②，不论m为何值，直线y=mx+1恒过定点（0，1），所以只要b²≥1，点（0，1）一定在椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1内部，所以
直线y=mx+1均与曲线

x2

4

+

y2

b2

=1有公共点，此时b≥1或b≤-1，所以命题②不正确．
命题③，假设a、b、c均小于2，即x+

1

y

＜2，y+

1

z

＜2，z+

1

x

＜2，则x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

＜6，
而x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

=(x+

1

x

)+(y+

1

y

)+(z+

1

z

)≥2

x• 1 x

+2

y• 1 y

+2

z• 1 z

=6（当且仅当x=y=z=1时等号成立），与假设矛盾，所以，若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，则a、b、c中至少有一个不小于2成立，故命题③正确．
命题④，若命题“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，结合绝对值的几何意义，|x-a|+|x+1|看作数轴上实数x对应的动点X到两实数a和-1所对应定点的距离，若实数a对应的点到实数-1对应点的距离大于2，即|a+1|＞2，则数轴上不存在实数x对应的动点到a和-1所对应定点的距离和小于等于2，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，故命题④正确．
故答案为③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解答的关键是每个命题的命题意图，命题①说明了导函数为0的点不一定是极值点；命题②考查了数形结合的思想方法；命题③考查了含有“至少”、“至多”、“存在”等一系列问题的常用证法（反证法）；命题④体现了转化法这种数学思想方法．该题涉及知识点多，处理方法灵活．