题目内容

已知幂函数 $数学公式$ 在（0，+∞）上是增函数， $数学公式$ ， $数学公式$
（1）当 $数学公式$ 时，求g（θ）的值；
（2）求g（x）的最值以及g（x）取最值时x的取值集合．

解：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，故 n=2，f（x）=x²．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =sinθ-2cosθ=0，∴tanθ=2．
∴g（θ）=（sinθ+cosθ）²+2 $\text{[math]}$ cos²θ=1+2sinθcosθ+2 $\text{[math]}$ cos²θ=1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）∵g（x）=1+2sinxcosx+2 $\text{[math]}$ cos²x=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ +1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ +1．
故g（x）的最大值为3+ $\text{[math]}$ ，此时，2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ ，x的取值集合为{x|x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z}．
g（x）的最小值为 $\text{[math]}$ -1，此时，2x+ $\text{[math]}$ =2kπ- $\text{[math]}$ ，x的取值集合为{x|x=kπ- $\text{[math]}$ ，k∈z}．
分析：（1）由幂函数的定义可得 n²-2n+1=1，n²-2＞0，由此求得 n的值，从而得到f（x）的解析式．由 $\text{[math]}$ ，求得tanθ=2，利用三角函数的恒等变换化简g（θ）的解析式为1+ $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
（2）由于g（x）=1+2sinxcosx+2 $\text{[math]}$ cos²x，化简为 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ +1，由此求得g（x）的最值以及此时x的取值集合．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，幂函数的定义，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．