Question

给定矩阵M=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

，N=

2 1 1 2

及向量e₁=

1 1

，e₁=

1 -1

．
（1）证明M和N互为逆矩阵；
（2）证明e₁和e₂都是M的特征向量．

Answer 1

分析：（1）已知矩阵M=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

，N=

2 1 1 2

，只要证明NM为单位矩阵即可证明；
（2）向量e₁=

1 1

在M的作用下，其像与其保持共线，利用此性质进行证明，同理证明e₂都是M的特征向量；

解答：解：（1）因为MN=

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

2 1

1 2

=

1 0

0 1

，NM=

2 1

1 2

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

=

1 0

0 1

，
所以M和N互为逆矩阵．（4分）
（2）向量e₁=

1 1

在M的作用下，其像与其保持共线，即

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

1 1

=

1 3 1 3

=

1

3

1 1

，
向量e₂=

1 -1

在M的作用下，其像与其保持共线，即

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

1 -1

=

1 -1

，
所以e₁和e₂是M的特征向量．（10分）

点评：此题考查矩阵的运算法则及其逆运算，这一部分是高中新增的内容，平时要多加练习，要理解特征向量的定义及其求法．