Question

【选修4-5：不等式选讲】
已知实数x，y，z满足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，即可得出x+2y+2z的取值范围．
（II）不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立?|a-3|+

a

2

≥(x+2y+2z)max，再对a分类讨论即可得出．

解答：解：（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，
∴-3≤x+2y+2z≤3，当且仅当

x 1 = y 2 = z 2 x2+y2+z2=1

，即y=z=2x=

2

3

时，右边取等号；同理当且仅当y=z=2x=-

2

3

时左边取等号．
（II）由（I）可知：-3≤x+2y+2z≤3，∴（x+2y+2z）_max=3．
∴不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立?|a-3|+

a

2

≥(x+2y+2z)max=3．
∴

a≥3 a-3+ a 2 ≥3

或

a＜3 3-a+ a 2 ≥3

，
解得a≥4或a≤0．

点评：本题考查了柯西不等式的应用、含绝对值不等式的解法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．