Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
其中正确的命题的序号是

 

?（注：把正确的命题的序号都填上．）

Answer 1

分析：根据函数f（x）两个相邻的零点间的距离等于

π

2

，可得①不正确；利用诱导公式可得②正确；由于x=-

π

6

时，
函数f（x）=0，可得f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，故③正确．

解答：解：由于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间的距离等于

π

2

，
故由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂ 必是

π

2

的整数倍，故①不正确．
由诱导公式可得函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4sin[

π

2

-（-2x+

π

6

）]=4cos（-2x+

π

6

）=4cos（2x-

π

6

），
故②正确．
由于x=-

π

6

时，函数f（x）=4sin0=0，故y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，故③正确． 
故答案为：②③．

点评：本题考查诱导公式，正弦函数的对称性、周期性，明确正弦函数的零点即为正弦函数图象的对称中心，是解题的关键．