题目内容
16．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，且被C截得的弦AB的长为8，且分别以FA，FB为直径的圆的面积和为12π，则抛物线的方程为y2=4x．分析 设出直线l的方程，代入抛物线C：y2=2px的方程可得：${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）px+\frac{1}{4}{k}^{2}{p}^{2}=0$，进而可得x1•x2=$\frac{1}{4}{p}^{2}$，由直线l被C截得的弦AB的长为8可得：x1+x2=8-p，由分别以FA，FB为直径的圆的面积和为12π可得$[（{x}_{1}+\frac{p}{2}）^{2}+（{x}_{2}+\frac{p}{2}）^{2}]\frac{π}{4}=12π$，进而可得p值，进而得到抛物线的方程．
解答 解：若直线l与x轴垂直，由直线l被C截得的弦AB的长为8可得：FA=FB=4，
此时分别以FA，FB为直径的圆的面积和为8π，不满足条件；
若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为：y=k（x-$\frac{1}{2}$p），
代入抛物线C：y2=2px的方程可得：${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）px+\frac{1}{4}{k}^{2}{p}^{2}=0$，
∴x1•x2=$\frac{1}{4}{p}^{2}$，…①
又∵直线l被C截得的弦AB的长为8可得：x1+x2+p=8，即x1+x2=8-p…②
∵分别以FA，FB为直径的圆的面积和为12π，
∴$[（{x}_{1}+\frac{p}{2}）^{2}+（{x}_{2}+\frac{p}{2}）^{2}]\frac{π}{4}=12π$，即（x1+x2）2-2x1•x2+p（x1+x2）+$\frac{{p}^{2}}{2}$=48
将①②代入得：p=2，
故抛物线的方程为：y2=4x，
故答案为：y2=4x
点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合应用，难度中档．
