Question

已知甲口袋中有8个大小相同的小球，其中有5个白球，3个黑球；乙口袋中有4个大小相同的小球，其中有2个白球，2 个黑球，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个口袋中共摸出3个小球．
（I ）求从甲、乙两个口袋中分别抽取小球的个数；
（II）求从甲口袋中抽取的小球中恰有一个白球的概率；
（III）记ξ表示抽取的3个小球中黑球的个数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意从甲、乙两个口袋中抽取的小球个数之比为8：4，得到从甲和乙两个口袋中分别抽取的小球是2，1
（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C₈²C₄¹，满足条件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹，得到概率．
（III）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率写出变量的概率，写出分辨率和期望值．

解答：解：（I）由题意从甲、乙两个口袋中抽取的小球个数之比为8：4=2：1
∴从甲和乙两个口袋中分别抽取的小球是2，1
（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数是C₈²C₄¹，
满足条件的事件是C₅¹C₃¹C₄¹=60，
∴要求的概率是P=

60

C 2 8 C 1 4

=

15

28

（III）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=

5

28

，P（ξ=1）=

25

56

，P（ξ=3）=

3

56

，P（ξ=2）=

18

56

∴ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	5 28	25 56	18 56	3 56

∴ξ的期望是Eξ=1×

25

56

+2×

18

56

+3×

3

56

=

5

4

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式，做出几个变量对应的概率．