题目内容

【题目】某景点拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为36米,其中大圆弧所在圆的半径为14米,设小圆弧所在圆的半径为x米,圆心角为θ(弧度).

(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为16元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为y,求y关于x的函数关系式,并求出y的最大值.

【答案】
(1)解:由题可知2(14﹣x)+(14+x)θ=36,

所以


(2)解:花坛的面积为

装饰总费用为4×2(14﹣x)+16×(14+x)θ=24(x+10),

所以花坛的面积与装饰总费用之比为

令t=x+10,t∈(10,24),

当且仅当t=12取等号,此时x=2,

故花坛的面积与装饰总费用之比为

且y的最大值为


【解析】(1)根据扇形的周长公式即可得出θ关于x的函数关系式,(2)表示出花坛的面积,得出花坛的面积与装饰总费用之比的表达式,令t=x+10,进行换元,利用基本不等式可求得最大值.
【考点精析】关于本题考查的基本不等式在最值问题中的应用和扇形面积公式,需要了解用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”;若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则才能得出正确答案.

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