Question

形如  的数阵称为n阶矩阵，有n²（n无穷大）个数以一定的规则排列，构成如下n阶矩阵：

此表中，主对角线上的数依次为l，2，5，10，17，…，则主对角线上的第101个数为

10001

，数字2013在此表中共出现

4

次．

Answer 1

分析：（1）观察主对角线上述列每一项都是前几项的和，可发现a_n=（n-1）²+1，将各项代入验证，可得递推式．
（2）由编码可得，第m行是首项为1，公差为m-1的等差数列，则第m行的第n个数为a_m=1+（n-1）（m-1），由此进行列举，能求出数字2013在此表中出现的次数．

解答：解：设此表中主对角线上的第n个数为a_n，
∵此表中，主对角线上的数依次为l，2，5，10，17，…，
∴a₁=1=（1-1）²+1，
a₂=1+1=2=（2-1）²+1，
a₃=1+1+3=5=（3-1）²+1，
a₄=1+1+3+5=10=（4-1）²+1，
a₅=1+1+3+5+7=17=（5-1）²+1，
a₆=1+1+3+5+7+9=26=（6-1）²+1，
…
∴观察主对角线上的数，发现a_n=（n-1）²+1，
∴主对角线上的第101个数
a₁₀₁=（101-1）²+1=10001．
（2）由编码可得，第m行是首项为1，公差为m-1的等差数列，
则第m行的第n个数为a_m=1+（n-1）（m-1），
第一列都是1，所以不会出现2013，
第二列第2013行的数就是2013，
第三列中，n=3，计算公式为a_m=2（m-1）+1=2m-1，故可以出现2013．
第四列中，n=4，计算公式为a_m=3（m-1）+1=3m-2，故不可以出现2013．
第五列中，n=5，计算公式为a_m=4（m-1）+1=4m-3，2013=504×4-3，故可以出现2013．
第六列中，n=6，计算公式为a_m=5（m-1）+1=5m-4，2013=403×5-2，故不可以出现2013．
第七列中，n=7，计算公式为a_m=6（m-1）+1=6m-5，2013=6×336-3，故不可以出现2013．
第八列中，n=8，计算公式为a_m=7（m-1）+1=7m-6，故不可以出现2013．
第九列中，n=9，计算公式为a_m=8（m-1）+1=8m-7，故不可以出现2013．
第十列中，n=10，计算公式为a_m=10（m-1）+1=10m-9，故不可以出现2013．
…
∴数字2013在此表列中共出现3次．
同理，数字2013在此表的行中也出现3次．
故数字2013在此表列中共出现6次．
故答案为：10001，6．

点评：本题考查递推公式的求解和应用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．