Question

设z=1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰，则

.

z

=

-i

．

Answer 1

分析：可利用{i^n-1}为等比数列，利用等比数列的求和公式结合复数i的幂的性质解决．

解答：解：∵

in

in-1

=i，
∴{i^n-1}为首项为1，公比为i的等比数列，又i⁴ⁿ=1，i³=-i
∴z=1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰=

1-i2011

1-i

=

1-i3

1-i

=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=i，
∴

.

z

=-i．

点评：本题考查虚数单位i及其性质，关键是掌握虚数单位i的幂的性质与复数的运算法则，属于中档题．